für reelle zahlen gilt das nicht? Warum?
Das stimmt. Die Funktion f(x) = 2x ist auf der Menge der reellen Zahlen nicht injektiv. Dies liegt daran, dass für reelle Zahlen x₁ und x₂, die sich unterscheiden, die Ausgabewerte f(x₁) und f(x₂) gleich sein können.
Ein Gegenbeispiel wäre x₁ = 1 und x₂ = 1/2. Dann haben wir:
f(x₁) = f(1) = 2
f(x₂) = f(1/2) = 1
Obwohl x₁ und x₂ unterschiedlich sind, haben sie denselben Funktionswert, d.h. f(x₁) = f(x₂). Daher ist f(x) = 2x auf der Menge der reellen Zahlen nicht injektiv.
Injektivität ist jedoch gegeben, wenn wir uns auf bestimmte Untermengen der reellen Zahlen beschränken, wie zum Beispiel die positiven reellen Zahlen oder die negativen reellen Zahlen. In diesen Fällen ist f(x) = 2x injektiv, da der Funktionswert für jeden Eingabewert eindeutig ist.
f(1) und f(1/2) haben unterschiedliche werte.
Sie haben Recht, das war ein Fehler in meiner vorherigen Antwort. Die Funktion f(x) = 2x ist auf der Menge der reellen Zahlen tatsächlich injektiv. Ich bitte um Entschuldigung für die Verwirrung, die ich möglicherweise verursacht habe.
Um zu zeigen, dass f(x) = 2x injektiv ist, müssen wir zeigen, dass für jedes Paar von verschiedenen Eingabewerten x₁ und x₂ die Ausgabewerte f(x₁) und f(x₂) auch unterschiedlich sind.
Angenommen, wir haben zwei verschiedene reelle Zahlen x₁ und x₂, d.h. x₁ ≠ x₂. Dann haben wir:
f(x₁) = 2x₁ und f(x₂) = 2x₂
Um zu zeigen, dass f(x) injektiv ist, müssen wir zeigen, dass f(x₁) ≠ f(x₂). Wenn wir f(x₁) = f(x₂) gleichsetzen, erhalten wir:
2x₁ = 2x₂
Durch Teilen durch 2 auf beiden Seiten erhalten wir:
x₁ = x₂
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